3D の運動学 — 着順から「走り」を逆算する

3D シミュレーションの馬は物理法則で走っているのではなく、「決まったゴール時刻に必ず着く」ように設計された式で動いています。その式の作り方と性質 (単調性・連続性・最大リード) を、微分を使って確かめます。

#設計の考え方 — 結果から過程を作る

ふつうの物理シミュレーションは「力 → 加速度 → 速度 → 位置」と計算し、着順は結果として決まります。Keiba Vision の 3D は逆で、

1. 着順と着差は 先に Zig のモデル が決める
2. その結果に 必ず一致する ように、途中の動きを式で作る

という順番です。こうすると、物理の細かい調整なしに「確率モデルどおりの結果」と「それらしい展開」を両立できます。

#走破タイム

Zig の race_once が返す各馬の出来を $x_i$、最も良い出来を $x_\text{max}$ とします。

const vAvg = isBanei ? 1.7 : this.dirt ? 15.9 : 16.6;
const base = this.distance / vAvg;
// ...
const T = base * (1 + (best - scores[i]) * 0.12);

• $\bar v$ … 平均速度。芝 16.6 m/s、ダート 15.9 m/s、ばんえい 1.7 m/s
• 1 着馬は $T = B$ (芝 2,000m なら $2000 / 16.6 = 120.48$ 秒、約 2 分 0 秒 5)
• 出来の差 0.03 は $120.48 \times 0.12 \times 0.03 = 0.434$ 秒の差 → 約 7.2m → 約 3 馬身

#位置の式

progress(h, t) {
  const acc = 1.1;
  const tw = t - acc * (1 - Math.exp(-t / acc));
  const u = tw / (h.T - acc);
  if (u < 1) return this.distance * (u + h.shape * u * (1 - u));
  // ゴール後はゆっくり減速
  const vEnd = this.distance * (1 - h.shape) / (h.T - acc);
  const dt = (u - 1) * (h.T - acc);
  return this.distance + vEnd * 5 * (1 - Math.exp(-dt / 5));
}

これを 3 つの部品に分けて読みます。

#部品 1: 時間のゆがみ $\tau(t)$ — 止まった状態から加速する

$\tau$ の微分 (時間あたりの増え方) は

で、$t = 0$ では 0、$t$ が大きくなると 1 に近づきます。つまり「レースの進み具合」が、最初は止まっていて、約 $3a \approx 3.3$ 秒でほぼ全速になる、という加速を表しています。

$t \gg a$ では $e^{-t/a} \approx 0$ なので $\tau(t) \approx t - a$。加速にかかった分、ちょうど $a$ 秒だけ遅れる ことになります。だから $u$ の分母は $T - a$ です。ゴール ($t = T$) では

2 分のレースなら $e^{-120/1.1} \approx 4 \times 10^{-48}$ なので、誤差は実質 0。どの馬も、ぴったり自分の $T_i$ にゴールします。

#部品 2: 脚質の 2 次式 $f(u)$

$s$ は脚質ごとの定数です。

const STYLE_SHAPE = [0.14, 0.07, -0.05, -0.12]; // 逃げ・先行・差し・追込

性質を確かめましょう。

• $f(0) = 0$、$f(1) = 1$ … スタートとゴールは $s$ に関係なく同じ
• $f(1/2) = 1/2 + s/4$ … 中間点で、逃げ ($s = 0.14$) は 3.5% 前、追込 ($s = -0.12$) は 3% 後ろ
• 微分 $f'(u) = 1 + s(1 - 2u)$ … 序盤 ($u \approx 0$) の速さは $1 + s$ 倍、終盤 ($u \approx 1$) は $1 - s$ 倍

逃げ馬は「序盤 14% 速く、終盤 14% 遅い」、追込馬は「序盤 12% 遅く、終盤 12% 速い」という、脚質らしい走りになります。

#部品 3: ゴール後の減速

ゴールした瞬間の速度は、$f'(1) = 1 - s$ と $\tau' \approx 1$ から

ゴール後の経過時間を $\Delta$ として

で、$\Delta = 0$ での位置は $D$、速度 (微分) は $5 v_\text{end} \times \tfrac15 = v_\text{end}$ です。位置も速度もゴールの前後でつながる (数学では $C^1$ 級と呼びます) ので、ゴール板を過ぎた瞬間にカクッと減速することがありません。そのあと約 5 秒ずつ指数関数的にゆっくりになり、最終的にゴールから $5 v_\text{end}$ (約 80m) 先で止まります。

#逃げ馬のリードはどこまで広がるか

2 頭の走破タイムが同じ ($T_A = T_B$) なら $u_A = u_B = u$ で、差は

$u(1-u)$ は $u = 1/2$ で最大値 $1/4$ をとる放物線なので、最大のリードは $D(s_A - s_B)/4$、レースのちょうど真ん中 です。

逃げ ($s = 0.14$) と追込 ($s = -0.12$)、2,000m なら $2000 \times 0.26 / 4 = 130$m。実際の計算でも、出来の差 0.03 (追込の方が強い) の場合で最大 126.4m のリードを作り、追込馬がゴール 27m 手前 (119.05 秒) で逆転し、3 馬身差で勝ちます。

#ゴール時刻の補間

3D は 1 秒間に約 60 回 (フレーム) しか位置を計算しません。4 倍速なら 1 フレームでレース時間が最大 $0.05 \times 4 = 0.2$ 秒進み、その間に馬は約 3.3m (1.4 馬身) 動きます。「ゴールを越えたフレームの時刻」をそのまま使うと、着差がフレーム単位に丸められてしまいます。

h.finishT = h.s > prev ? this.t - dt * (h.s - goal) / (h.s - prev) : this.t;

前のフレームの位置 $x_\text{prev}$ と今の位置 $x$ の間を直線で結び、ゴール $G$ を通る時刻を求めます (線形補間)。

1 フレームの間、速度はほぼ一定なので、誤差は 1/1000 秒以下になります。

#着差 — 秒を馬身に直す

export function margin(gapMeters) {
  const l = gapMeters / 2.4;
  if (l < 0.08) return "ハナ";
  if (l < 0.18) return "アタマ";
  if (l < 0.35) return "クビ";
  if (l >= 10) return "大差";
  const q = Math.round(l * 4) / 4;
  // ...
}

前の馬とのゴール時刻の差 $\Delta t$ に、1 着馬の平均速度 $v_1 = D / T_1$ を掛けて距離にし、1 馬身 = 2.4m で割ります。

0.35 馬身未満は「ハナ」「アタマ」「クビ」、10 馬身以上は「大差」、その間は $1/4$ 馬身単位に四捨五入 ($\lfloor 4\ell + 0.5 \rfloor / 4$) して「1 1/4」のように表示します。

#横の位置 (レーン) — 貪欲法

for (let tries = 0; tries < 20; tries++) {
  const clash = placed.some(o => Math.abs(o.s - h.s) < HORSE_LEN * 1.15 && Math.abs(o.lane - want) < 1.25);
  if (!clash) break;
  want += 1.3;
}
// ...
h.lane += (want - h.lane) * Math.min(1, dt * 1.6);

前を走る馬から順に「内ラチから 1m の位置に行きたい。でも前後 2.9m 以内・横 1.25m 以内に馬がいたら 1.3m 外へずらす」を繰り返します。先に決めた馬の位置は変えない 貪欲法 (その場で最善を選ぶ方法) で、全体として最適とは限りませんが、毎フレーム $O(n^2)$ 程度の軽い計算で済みます。

実際のレーンは目標へ「1 秒あたり 1.6 の割合」で近づきます。これは時定数 $1/1.6 \approx 0.63$ 秒の指数関数的な接近 (次のページの カメラ と同じ考え方) で、馬が横に瞬間移動するのを防いでいます。