能力値と適性 — 戦績を 1 つの数字にする

名鑑の 5,861 頭につける「能力値 (45〜99)」の作り方を説明します。平方根と対数を使う理由、順位 (パーセンタイル) への変換、そして 3D シミュレーションで使う「スピード」への換算まで。

#素点 — 4 つの実績を足す

名鑑の馬には、Wikipedia の記事から取った「通算成績 (N 戦 M 勝)」「勝ち鞍 (GI・GII・GIII)」「獲得賞金」があります。これらから 素点 $R$ を作ります。

private fun rawScore(h: HorseEntry): Double {
    val starts = h.starts ?: 0
    val winRate = if (starts > 0) (h.wins ?: 0).toDouble() / starts else 0.25
    val top = h.bigWins.count { it.grade.endsWith("I") && !it.grade.endsWith("II") }
    val graded = h.bigWins.size
    val money = h.earningsManYen?.let { min(log10(1.0 + it) * 3.0, 15.0) } ?: 6.0
    return 18 * sqrt(winRate) + min(top, 9) * 3.0 + min(graded, 15) * 0.6 + money
}

grade.endsWith("I") && !grade.endsWith("II") は「GI または JpnI」だけを数えるための条件です ("GIII" や "GII" も "I" で終わるため、"II" で終わるものを除いています)。

#例: オグリキャップ

32 戦 22 勝、データ上の GI 勝ち 3、重賞勝ち 10、獲得賞金 9 億 1251 万円 (91,251 万円)。

#なぜ平方根と対数なのか — 限界効用

#勝率に平方根

$\sqrt{w}$ のグラフは、最初は急で、だんだん緩やかになる曲線です (凹関数)。傾き (微分) は

で、$w$ が小さいほど大きくなります。

「ほとんど勝てない馬」と「たまに勝つ馬」の差は大きいが、「よく勝つ馬」と「とてもよく勝つ馬」の差はそれほどでもない、という感覚を表しています。経済学で「限界効用の逓減」と呼ぶ考え方と同じです。

#賞金に対数

賞金は 100 万円の馬から 20 億円の馬まで、桁が 4 つ以上違います。そのまま足すと賞金の大きい馬だけで点数が決まってしまうので、$\log_{10}$ (10 を何乗すればその数になるか) で「桁数」に直します。

賞金が 10 倍になると +3 点。$1 + E$ としているのは、賞金 0 のとき $\log 0$ (マイナス無限大) にならないようにするためです。人間の感覚が刺激の「比」に反応する、という Weber–Fechner の法則とも似た発想です。

#素点 → 順位 → 能力値

素点は 5〜50 くらいの、分布の偏った数です。そのまま見せると「上位の名馬がみな同じような点」になり、差が分かりません。そこで 全頭の中の順位 に変換してから、45〜99 に配ります。

val raw = list.map { rawScore(it.horse) }
val order = raw.indices.sortedBy { raw[it] }
order.forEachIndexed { rank, i ->
    val p = if (list.size == 1) 1.0 else rank.toDouble() / (list.size - 1)
    rating[i] = (45 + 54 * p * p).roundToInt()
}

素点の小さい順に 0, 1, …, $N-1$ と順位 $r$ をつけ、

$p$ は「自分より下に何割の馬がいるか」(パーセンタイル) です。最下位で $p = 0$ → 45、最上位で $p = 1$ → 99 になります。

#なぜ $p^2$ なのか

$45 + 54p$ (直線) でも 45〜99 になります。2 乗にすると傾きが $108p$ になり、上位ほど 1 段階の差が大きく 表示されます。名鑑を見る人が気にするのは「上位の名馬どうしの差」なので、上の方の解像度を上げているわけです。

#能力値 99 は何頭いるか — 式だけで予言する

四捨五入で 99 になるのは $45 + 54p^2 \ge 98.5$ のときです。

上位 $1 - 0.99536 = 0.464\%$ です。名鑑は $N = 5861$ 頭なので、$r \ge 0.99536 \times 5860 = 5832.8$、つまり $r = 5833$〜$5860$ の 28 頭。実際のデータを数えると 28 頭で、一致します。

同じように中央の馬 ($p = 0.5$) は $45 + 54 \times 0.25 = 58.5 \to 59$ で、実データの中央値も 59 です。

#得意な馬場と距離の推定

その馬が勝った重賞を、競走一覧のデータ (馬場・距離) と名前で突き合わせます。

• 勝った重賞に芝が含まれれば「芝」、ダートが含まれれば「ダート」、両方なら「芝・ダート」、記事のある重賞を勝っていなければ「不明」
• 得意距離 = 勝った重賞の距離の 平均 (オグリキャップは 1,980m)

平均を使うので、マイル (1,600m) と長距離 (2,500m) の両方を勝った馬は 2,000m 前後が「得意」と表示される、という限界があります。

#シミュレーション用の「スピード」への換算

3D シミュレーションでは、能力値を モンテカルロ の $\mathrm{SI}$ (スピード指数) に換算して Zig に渡します。

function effectiveSpeed(f, distance, surface) {
  if (f.speed) return f.speed;
  let s = 70 + f.rating * 0.5;
  if (f.surface && f.surface !== "不明" && !f.surface.includes(surface)) s -= 4;
  if (f.bestDistance) s -= Math.min(6, Math.abs(distance - f.bestDistance) / 250);
  return s;
}

• 能力値 45〜99 → $\mathrm{SI}$ 92.5〜119.5。サンプル出馬表のスピード指数 (101〜118) とだいたい同じ範囲になるように選んだ 1 次式です
• $[\,\cdot\,]$ は「条件が成り立てば 1、そうでなければ 0」(アイバーソンの記法)
• $D^*$ は得意距離。250m 離れるごとに −1、最大 −6

能力値 10 の差 = SI 5 の差 で、モンテカルロ の揺らぎの標準偏差 0.0635 は SI に直すと約 6.35 なので、「能力値 13 くらいの差が、揺らぎ 1 つ分」という感覚です。