コースの幾何学 — スタジアム曲線とベクトル

3D のコースは「直線 2 本と半円 2 つ」でできた曲線です。曲線を距離でパラメータ表示する方法、接線と法線、右回りへの鏡映、3D の向きを決める回転角まで、高校数学のベクトルで説明します。

#スタジアム曲線

実際の競馬場の形は場ごとに違いますが、3D では陸上トラックと同じ スタジアム曲線 で近似しています。

• 直線の長さ $S$ … 各競馬場の「最後の直線」の値 (東京 525.9m など)
• コーナーの半径 $R = 110 + 0.1\,S$ … 直線が長い競馬場ほど少し大きく
• 1 周の長さ $L = 2S + 2\pi R$

東京なら $R = 110 + 52.59 = 162.59$m、$L = 1051.8 + 1021.6 = 2073.4$m です (実際の東京の芝コースは 1 周 2,083m なので、近い値になっています)。

#距離でのパラメータ表示

コース上の点を「内ラチ沿いにスタート地点から $s$ メートル進んだ点」で指定します。内ラチから外へ $o$ メートル離れた点の座標 $P(s, o) = (x, z)$ は、4 つの区間で式が変わります (上から見て $x$ が右、$z$ が手前)。$r = R + o$ と置きます。

1・2 コーナーでは $p = \pi/2 - (s - S)/R$、3・4 コーナーでは $p = -\pi/2 - (s - 2S - \pi R)/R$、向こう正面では $u = s - (S + \pi R)$ です。$s$ は $L$ で割った余りを使うので、1 周を超える距離 (3,000m など) も同じ式で扱えます。

else if (s < S + Math.PI * R) {
  const p = Math.PI / 2 - (s - S) / R;
  x = S / 2 + r * Math.cos(p); z = r * Math.sin(p); dx = Math.sin(p); dz = -Math.cos(p);
}

#半円の式の導き方

中心 $(S/2, 0)$、半径 $r$ の円周上の点は、角度 $p$ を使って $(S/2 + r\cos p,\ r\sin p)$ と書けます。コーナーの入り口 ($s = S$) で真下 (ホームストレッチ側、$p = \pi/2$)、出口 ($s = S + \pi R$) で真上 ($p = -\pi/2$) なので、角度は $\pi/2$ から $-\pi/2$ へ、$s$ に比例して減ります。内ラチ (半径 $R$) に沿って長さ $\ell$ 進むと角度は $\ell / R$ (ラジアン) 変わるので

進行方向は位置を $p$ で微分した向きの反対 ($p$ は減っていくため) で、

長さは $\sin^2 p + \cos^2 p = 1$ なので、そのまま 単位ベクトル (長さ 1) です。ホームストレッチの終わり ($p = \pi/2$) では $T = (1, 0)$ となり、直線部分の進行方向とつながります。

#外向きの法線 — 「差」で求める

スタンドやカメラを「コースの外側」に置くには、外を向いた単位ベクトル (法線) $N$ が必要です。アプリは、同じ $s$ で $o$ を 0 と 1 にした 2 点の差を使っています。

outward(s) {
  const a = this.at(s, 0), b = this.at(s, 1);
  return new THREE.Vector3(b.x - a.x, 0, b.z - a.z).normalize();
}

直線部分では $z$ 方向に 1 ずれるだけ、コーナーでは半径方向に 1 ずれるので、どちらも「コースに垂直で外向き」になります。式を区間ごとに書き分けずに済むのが、この方法の利点です。

#右回り — 鏡に映す

日本の競馬場は右回り (時計回り) が多く、東京・新潟・中京などは左回りです。上の式は左回りなので、右回りのコースは $x$ 座標の符号を反転して作ります。

return { x: x * mirror, z, dx: dx * mirror, dz };

これは $z$ 軸を鏡とする 鏡映 です。鏡映は長さを変えないので、$s$ がそのまま距離を表すという性質は保たれます。一方で「時計回り / 反時計回り」は逆になるので、左回りの曲線が右回りの曲線になります。

#スタートとゴールの位置

ゴールはホームストレッチの 85% の位置 $G = 0.85\,S$ に置き、スタートはそこから距離 $D$ だけ戻った点です。

東京 2,400m なら $G = 447.0$、$(447.0 - 2400) \bmod 2073.4 = 120.4$。スタート地点はホームストレッチ上、ゴール板の 326.6m 手前になり、1 周と少しを走ることになります (実際の東京芝 2,400m もスタンド前の発走で、1 周と少しです)。

ばんえい (帯広) は直線コースなので、コーナーを持たない $(-S/2 + s,\ o)$ だけを使います。

#3D の向き — atan2

3D の物体 (馬・発馬機・ゴール線) を、ある水平ベクトル $v = (v_x, v_z)$ の向きに回すには、$y$ 軸 (上下) まわりの回転角 $\theta$ を求めます。$y$ 軸まわりに $\theta$ 回すと、

になります (three.js の右手系)。

• 馬は前方が $+z$ なので、$(\sin\theta, \cos\theta) = (d_x, d_z)$ を解いて $\theta = \operatorname{atan2}(d_x, d_z)$
• 発馬機やゴール線は長い方が $+x$ なので、$(\cos\theta, -\sin\theta) = (v_x, v_z)$ を解いて $\theta = \operatorname{atan2}(-v_z, v_x)$

const alongX = v => Math.atan2(-v.z, v.x);
// ...
h.root.rotation.y = Math.atan2(p.dx, p.dz);

$\operatorname{atan2}(y, x)$ は「点 $(x, y)$ の角度」を $-\pi$〜$\pi$ で返す関数で、$\arctan(y/x)$ と違って $x = 0$ でも使え、4 つの象限を正しく区別できます。