血統の数学 — 血量と近交係数

「奇跡の血量 18.75%」とは何の割合なのか。血量と Wright の近交係数を、遺伝子が親から子へ受け継がれる確率から導きます。Odin で書いた計算機の中身も読み解きます。

#代とクロス

血統表では、父と母を 1 代、祖父母を 2 代、曾祖父母を 3 代 と数えます。$g$ 代前の祖先は $2^g$ 頭いて、それぞれの「枠」があります。

同じ祖先 $A$ が、父方の $g_1$ 代目と母方の $g_2$ 代目の両方に現れることを クロス (インブリード) と呼び、「$A$ の $g_1 \times g_2$」と書きます。例えば「サンデーサイレンスの 3×4」は、父方の 3 代前と母方の 4 代前の両方にサンデーサイレンスがいる、という意味です。

#血量 — その祖先の「割合」

子は、父と母からちょうど半分ずつ遺伝子を受け取ります。父も同じように両親から半分ずつ受け取っているので、子にとっての祖父の割合は $1/2 \times 1/2 = 1/4$。これを繰り返すと

同じ祖先が 2 か所に現れれば、その割合を足します。

3×4 なら $1/8 + 1/16 = 3/16 = 18.75\%$。これが「奇跡の血量」と呼ばれる値です。

@(export)
blood_percent :: proc "c" (gen_sire_side, gen_dam_side: i32) -> f64 {
	if !valid(gen_sire_side) || !valid(gen_dam_side) do return 0
	return (half_pow(gen_sire_side) + half_pow(gen_dam_side)) * 100
}

half_pow(n) は $(1/2)^n$ を、0.5 を $n$ 回掛けて計算します (WebAssembly で数学ライブラリを使わずに済むように)。valid は 1〜12 代以外を 0 として扱う入力チェックです。

#近交係数 — 同じ遺伝子を 2 つ持つ確率

血量とは別に、育種学では 近交係数 $F$ を使います。これは

ある遺伝子の位置 (座位) で、父から来た遺伝子と母から来た遺伝子が、同じ祖先の同じ遺伝子のコピー である確率

です (「同祖的 (IBD)」と言います)。同じ遺伝子を 2 つ持つと、良い性質も悪い性質 (劣性の遺伝病など) も表に出やすくなります。

#導き方

子 $X$ の父方の遺伝子が、祖先 $A$ までさかのぼる確率を考えます。

1. 子の父方の遺伝子は、必ず父から来ています
2. 父の遺伝子は、父の両親のどちらかから 1/2 の確率で来ています
3. $A$ は父方の $g_1$ 代前なので、父から $A$ まで $g_1 - 1$ 回さかのぼります → 確率 $(1/2)^{g_1 - 1}$

母方も同じく $(1/2)^{g_2 - 1}$。両方とも $A$ に行き着いたとき、$A$ が持つ 2 つの遺伝子のうち 同じ方 を受け継いでいる確率は $1/2$ です。(違う方でも、$A$ 自身が近親交配で生まれていれば、その 2 つが同祖的である確率 $F_A$ があります。) まとめると

アプリは $F_A = 0$ (祖先自身は近親交配ではない) と仮定しています。

@(export)
inbreeding_coefficient :: proc "c" (gen_sire_side, gen_dam_side: i32) -> f64 {
	if !valid(gen_sire_side) || !valid(gen_dam_side) do return 0
	return half_pow(gen_sire_side + gen_dam_side - 1) * 100
}

3×4 なら $F = (1/2)^6 = 1.5625\%$。

#血量と近交係数は別もの

2×5 と 3×3 を比べると、血量は 2×5 の方が多いのに、近交係数は 3×3 の方が大きい という逆転が起きます。

• 血量は「その祖先の遺伝子がどれだけ入っているか」(足し算)
• 近交係数は「同じ遺伝子が父方・母方の両方から来る確率」(掛け算)

で、2×5 は片方 (父方 2 代) に偏っているため、両方からそろう確率は低いのです。

#評価のしきい値

@(export)
cross_rating :: proc "c" (gen_sire_side, gen_dam_side: i32) -> i32 {
	b := blood_percent(gen_sire_side, gen_dam_side)
	if b >= 25 do return 2
	if b >= 12.5 do return 1
	return 0
}

血量 25% 以上を「濃い」、12.5% 以上を「ほどよい」としています。競馬の世界でよく言われる目安 (3×4 前後が「活力が出やすい」、2×3 より近いと「体質が弱くなりやすい」) に合わせた経験的な区切りで、遺伝学的な根拠のある線ではありません。